고등전문학교 1학년부터 작년까지 루로우 삼각형에 흥미를 가지고 연구를 해 왔다[1]. 루우 삼각형에 관심을 가지고 연구해 왔다.
로우 삼각형이란 정삼각형 ABC의 각 꼭지점을 중심으로 반경이 그 정삼각형의 일변이 되는 원호.
을 묶어 만든 부풀어 오른 삼각형 ABC이다(그림1). 나는 원 A, 원 B, 원 C.
의 반경을 1로 하고, A, B, C의 위치를 정삼각형 ABC에 배치했을 때, 3개의 원이 교차하여 에서
자르는 안쪽의 볼록형 룰로 정삼각형 R1R2R3(그림2)이나 오목형 룰로 정삼각형 R1R2R3(그림3)
을 연구하였다. 그리고 루로 정삼각형 R1R2R3의 각에 관한 모종의 공식(제2절 참조)
을 얻을 수 있었다.
그림1 룰로 삼각형 그림2 볼록형 룰로 정삼각형 그림3 오목형 룰로 정삼각형
올해는 원을 많이 그려 루로우 정삼각형 R1R2R3을 평면 전체에 규칙적으로 늘어놓은 도형
전체를 연구해 보려고 하였다. 그림 4는 어떤 규칙으로 룰로 정삼각형을 평면 전체에 규칙적
에 나열된 무늬가 다른 세 가지 예이다. 나는 이 무늬들의 특징을 나타내는 척도가 정의
못할까 하여 이 연구를 실시하기로 마음먹었다. 또한 푸리에 해석은 고등전문학교에서 배운 바보.
이과 수학의 한편으로는 이것을 사용해 연구하고자 하는 동기도 있다.
그림 4 많은 원을 규칙적으로 나열할 수 있는 모양의 예
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2. 지금까지의 연구결과
볼록형 룰로 정삼각형 11 22 33을 만드는 3개의 원 A, B,
C의 이웃하는 2개의 원의 바깥쪽 교점을 X, Y, Z로 하고,
그것들을 중심으로 한 원 X, 원 Y, 원 Z를 각각 그린다
와 그 중심에 오목형 룰로 정삼각형 11 22 33이 생겨
지금까지 나의 결과 중 하나를 말하자면, 볼록형 루우.
나. 정삼각형 ロー1 ロー2 の3의 접선에 의해 만들어지는 하나의
각을α로하고, 오목형 룰로 정삼각형 α1 角2 の3 중 하나의 각
을 기준으로 하면,
𝛼 − 𝛽 =
2𝜋
3
이 성립된다는 것이다[1]
이 연구는 Geogebra라는 프리소프트를 이용하여 수행하였다. 이 소프트웨어 덕분에 위
앞에서 설명한 연구 이외에도 일반 2차곡선에 관한 룰로 삼각형에 관한 괘곡문제와 같은
연구에도 몰두했다[2]
3. 루로우 (( ))
연구 대상인 roul 모양의 (( ))을 정의한다.
(1) を을 정의 실수로 한다.
(2) 실 2차원 벡터 공간 𝐑
2를 생각해 그 기저를 11 = (
𝑑
0
) , 𝒃2 =
𝑑
2
(
1
√3
)라고 한다. 그리고 11
토호2에서 만들어지는 격자채를
𝛬 = {𝑎1𝒃1 + 𝑎2𝒃2 | 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝒁}
로 하다
(3) 격자합의 모든 격자점을 중심으로 반경 1개의 원을 그린다.
이렇게 그린 무수한 원으로 채워진 평면을 룰로 무늬 (( ))라고 한다.
𝑅(0.5) 𝑅(1.0) 𝑅(1.5)
그림 6 rolow 무늬 (( ))
그림 5 루로우 삼각형의 각
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4. 루로우 4( ))와 평면 결정군
평면 결정군 Γ은 17종류로 분류된다는 사실이 알려져 있다. 평면 결정군 Γ의 17종류의 이름
칭은 ICU(International Union of Crystallography)에 의한 기법이 널리 이용되고 있으며,
알파벳( ,, ,, ,, ）)은 다음 머리글자이다.
𝐩 : primitive 𝐜 : centered 𝐦 : mirror 𝐠 : glide reflection
그리고 기법에서 사용되는 숫자는 회전의 위수를 나타낸다. 게다가
평면 결정군 Γ은 실평면 Γ
上위의 점 に에 대하여 と과 の의 2방향의
평행 이동으로 생성되는 격자군
Γ 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 = ⟨ 𝒙 + 𝒃𝟏 , 𝒙 + 𝒃𝟐
⟩
를 정규 부분군으로 가지며, Γ ,, Γ의 기본 영역 형태로 17가지 분류
가 이루어지고 있다(단, 기본영역을 취하는 방법은 대략적으로 결정되지 않는다.
라나이) ([3], [4] 참조)
그런데, 본 연구에서 취급하는 루로우 모양 (( ))은 만드는 방법에서 모두 6
화 격자로 되어 있으며, 위수 3의 회전(2개/3회전), 3방향의 경영 축, 3방향의 병진경영
의 축을 가지며 회전의 중심으로서 거울의 축 위에 없는 것이 있는 육각격자라고 불리고 있다.
평면 결정군으로 분류되다
그림8 p31 m 육각 격자 결정군을 가진 루로우 공간 ((0.67)
참고로 그림 8의 ((0.67)을 2차원 FFT
로 처리한 이미지가 그림9이다. 이는 프리
소프트 ImageJ로 실행하였다. 안쪽이 저주파,
바깥쪽으로 갈수록 고주파로 되어 있으며 흰
정도 그 위치의 주파수 진폭이 클 것
을 나타내고 있다. )는 육화 격자가 되도록
에 만들어 놓았으므로 3축 방향으로 대칭성이 있다.
것은 당연하다. 그러나 이 방법으로는 상자
더 이상의 원하는 결과를 얻을 수는 없다.
이번 연구의 주제는 𝑑에 의해 今回의
그림 7 𝐩𝟑𝟏𝐦
(2점 A, B는 모두 룰로 모양의
2 //3회전 대칭의 중심이다.)
그림 9 ((0.67)의 2차원 FFT 이미지
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무늬의 특징을 나타내는 척도를 발견하는 것이며, 정의한 척도에서 얻어지는 수치와 に2도의
은하 관계식이 있는지를 연구하는 것이다.
다음 절에서 이번에 실시한 구체적인 연구 방법과 그 결과를 제시한다.
5. 루로우 모양 (의 교점 밀도에너지
초등 기하학에서는 서로 비슷하다는 개념이 있다. 이것은 확대 축소를 무시하고 모양이 같다고 한다
다는 것을 나타내는 개념이며, 변의 길이나 면적 등의 척도를 이용하면 서로 유사한 형태의
차이(크기라는 막연한 개념)를 나타낼 수 있다. 앞 절에서 루우 모양 )은 하나
일반적으로 p31m 육각 격자라는 문양군임을 설명하였다. 문양군은 초등기하에서 말하는 상사와
는 개념에 대응한다고 생각한다. 그러나 같은 문양군 p31m 육각격자라도 그림6을 보면 に에 따라
손모양(막연한 개념)이 다르다. 초등 기하에서 변의 길이나 면적 등의 척도에서 크기의 차이
를 나타내듯이, 이 무늬의 차이를 나타내는 척도를 발견할 수 없을까?
나는 주기적인 모양이 발하는 빛의 물결에 의해 그 차이가 나타나고 있는 것은 아닐까 하고 생각하여
이 때문에 루로우 모양 직물( ))로부터 어떠한 데이터를 취득하여 그 데이터들을 고등전문학교
배운 푸리에 해석을 수행하여 연구해보면 좋지 않을까 생각하였다. 그럼 수학적으로
는 무슨 데이터를 찍으면 좋을까?
나는 규칙적인 문양을 보는 행위를 순간적으로 일부 영역을 포착하고, 그 다음에 시점의
위치를 늦추고(평행 이동하고), 그리고 그것을 반복하는 것이라고 생각했다.
힌트로, 시선이 감지하는 영역을 반경 1의 원영역으로 하고, 거기서 교점의 수를 세어 나간다.
해서 원영역을 수평방향으로 미세하게 평행 이동시키고, 각 영역에서의 교점 수를 데이터로 삼아
보려고 생각했다.
이상의 생각을 10개 진행 BASIC에서 프로그램하여, 이하의 순서로 평행 이동하는 반경 1의 원영역
안의 교점의 밀도의 데이터를 취하기로 하고, 그리고 얻은 데이터를 엑셀로 FFT 해석한다.
하기로 했다.
표 2는 주파수 に에 대한 FFT 결과( 表 + ))와 진폭 스펙트럼 (( )) =
√𝑎2+𝑏
2
2
×
1
32
데아
솔직하게 FFT해석한 결과가 그림12의 그래프이다. ((0)가 최대이며, 다음으로
큰 것이 ((1)이다. 이 결과는 대부분의 に에 대해서 말할 수 있는 것이었다.(주의. 표 2
の( ))는 이 후에 정의할 주파수 の의 교점 밀도에너지를 의미한다.)
그림 11 ((1.5)의 교점 밀도 그래프
내가 보기에는 거의 모든 촉에서 그림12와 같은 그래프를 얻을 수 있다는 것이 어떤 의미일까?
모양 模様( の)의 方向방향 주기성이 주파수 模様 = 0, 1에 지배되고 있는 것을 의미한다고 생각하였으며,
그러나 주파수 = 0은 시각적인 빛의 자극에는 영향을 주지 않으므로 주파수 = 1이 p31m
육각격자의 평면 결정군을 가진 (( ))의 方向방향 주기성에 대응한다고 생각된다. 그러면 동
자p31m 육각격자의 평면 결정군을 가지면서 쐐기에 따른 모양의 차이를 나타내고 있는 요인은 무엇일까.
그림 12ω- (( )) 그래프
것일까. 표 2의 (을 자세히 보면, の も 0, 1일 때도 ( の 0이다. 그것은 어떤
주파수도 모양 차이에 영향을 주고 있다고 생각할 수 있다. (를 잘 사용하여 모양
의 차이에 영향을 주는 の의 척도를 정의하면 된다. 그래서 물리에서 배운 각진동수
，, 진폭척에서 단진동을 하고 있는 질량척의 물체가 가지는 역학적 에너지척이,
와 같은 식으로 나타나는 것으로부터([5] 참조), 교점밀도 에너지라는 생각을 생각해 냈다.
이것은 れ = 1로 하고, を를 FFT로 생각하는 주파수 ，, を를 2 (( ))로 치환하는 것이었다.
교점밀도에너지의 정의
각 국소 단위원에서 그 교점 밀도를 데이터로서 취하여 FFT 해석으로부터 얻어지는 진폭
스펙트럼 ((0 ≤ ≤ 16)에 대해 ，( () = (2 スペ( ())
2
/2를 진동수 の의 교점밀도에너지
라고 하며, (의 총합을 (의 교점밀도에너지 (( ()라고 부른다.
모양 ((1.5)의 교점 밀도에너지는 ((1.5)= 0.379이었다(표 2)
6. (의 교점밀도 에너지 ( 조사 결과
교점을 카운트할 것을 생각했을 때 수식으로 처리하는 프로그램을 만들 수는 없다.
이겼다. 이번에는, 하나의 원을 그리게 하고, 다음 원을 그릴 때에, 화상에 있어서 원이 섞인 픽
셀이 있으면 카운트하는 알고리즘으로 프로그램을 만들었다. 또한 𝑑=1등의 특수
인 것은 교점이 2중점이 아니라 3중점 이상의 중복도를 가지며, 이러한 경우에는 밀도에너지
가 작게 계산되므로, 이하의 데이터에서는 무시했다. 이하에, 0.5 ≤ ≤ 1.6의 ≤에 관
술교점 에너지 (( する)의 일반적인 する
7. (의 と과 교점밀도에너지 (의 관계식
(( ))의 交와 교점 밀도에너지 (( ))의 관계식을 구하기 위해 𝑑( ))의 데이터
을 정리하고 그 그래프를 고찰하기로 했다. 이때 앞 절에서도 말했듯이 예를 들어
𝑑 = 1의 경우, 6중점만 무늬로 되어 있는데(그림 6), 2( は)는 2중점 개수를 1로 하고
으로 카운트하므로 6중점일 경우는 5로 카운트하고 ᄀ(1)=8.724를 얻었다. 이를
기준으로 생각한 교점밀도에너지를 상대 교점밀도에너지라고 부르며,
𝐸𝑝𝑡(𝑑)1.0
라고 나타내기로 하였다. (( と) 1.0은 FFT의 데이터 수에 의존하지 않는 것으로 생각하는 양이다.
한편, 얻은 데이터의 一方 - (( )) 그래프는 지수 함수의 그래프처럼 보였다(그림 20).
그래서 そこ - log( () 1.0)의 회귀 직선을 구했다(그림21).
8. 루로우 모양 (( ))의 교점 모먼트 지배인자
루로우 무늬 (( ))를 가만히 보고 있노라면 약간 무늬가 흔들려
움직이는 것 같은 착각을 받는다. 이에 대해서도 무늬가 만들다
기하학적인 양이 영향을 미친 것처럼 보였다.
나는 이에 대하여 보는 관점을 중심으로 한 교점의 모.
멘토에 관계되는 것이 아닐까 하고 생각했다. 즉,
있는 시점을 중심으로 하여 단위원을 생각하고, 그 단위원 내에 있는
교점이 중심축( 軸축)보다 왼쪽으로 많을 때는 왼쪽이 무겁게
느끼고 오른쪽에 많을 때는 오른쪽이 무겁게 느껴진다. 우리는 무늬를 볼 때 무늬의 패턴으로
어느 방향으로 시선을 돌려 가면서 보고 가는 동시에 좌우 모먼트의 변화를 감지하고 있다.
있다고 생각했다.